群论学习笔记(part1)_II32资讯下载站

参考教材《Physics from symmetry》-Jakob Schwichtenberg

说是群论，其实是李群啦。

群是什么？大致可以理解为集合+一种运算。比如说所有转动操作构成的集合，加上运算符 $\circ$ 构成转动群。比如说群元素 g_1 与 g_2 是多少，由运算符的规定给出

除此之外，对群还有一些数学要求：

存在恒元 ^[1]
任意群元都存在逆元，恒元的逆元就是它自己
群乘法封闭，即 $g_1\circ g_2=g_3\in G,\forall g_1,g_2\in G$
结合律

上面是对群论的一些简单介绍，下面举一些具体的例子

先研究二维空间中的转动。

转动的定义中包含有“矢量模长不变”，但显然不只有这个要求，因为起码反射也符合这个要求，因此如果只有“模长不变”的要求的话，那么转动和反射便没有区别。但我们可以先找到所有满足“模长不变”的操作，再从中挑出我们心仪的转动操作。

根据上述定义自然有（选取矩阵表示）

$\begin{align} v'=&Ov\\ (v')^Tv'=&v^TO^TOv=v^Tv\\ \Rightarrow O^TO=&I \end{align}$

知乎中的align环境如何显示在中间呢？

显然满足“模长不变”的操作的矩阵也满足正交矩阵的定义: $O^T=O^{-1}$

很容易可以证明，以矩阵乘法作为群乘法是封闭的，逆元恒元结合律自然有矩阵运算保证。因此所有2x2的正交矩阵构成二维实空间的正交群 O(2)

$\begin{align} O^TO=&I\\ \Rightarrow \det{O}=&\pm1 \end{align}$

同样在复数域中我们很容易可以得到，模长不变的操作满足

$\begin{align} v'=&Uv\\ (v')^\dagger v'=&v^\dagger U^\dagger Uv=v^\dagger v\\ \Rightarrow U^\dagger U=&I \end{align}$

对于复数而言，由于欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ ，复数天生就很容易可以表示转动，因此我们很容易取到 $U=e^{i\theta}$ ，满足上述要求，以复数乘法为群乘法，构成幺正群 U(1) 。为了与实数域的转动群对比，我们也为其选取矩阵表示(用2x2的实矩阵来表示复数)

$\begin{align} 1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad i=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{align}$

如此，复数域上的两个基底都被实矩阵表示了，这样复空间中的转动便可以写为

$\begin{align} e^{i\theta}=&1\cdot \cos\theta+i\cdot \sin\theta\\ =&\begin{pmatrix}\cos\theta&0\\0&\cos\theta\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-\sin\theta\\\sin\theta&0\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\ \theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \end{align}$

嗯，我们发现复数域中的幺正群 U(1) 的矩阵表示与特殊正交群 SO(2) 的矩阵表示一模一样，很显然两个群之间的映射 $\Pi$ 是双射，而且满足 $\Pi(g_1)\Pi(g_2)=\Pi(g_1g_2)$ ，所以 U(1) 群与 SO(2) 群同构。

四元数Quaternions的转动

前面二维空间时，我们选取了两个实自由度的复数域，因此我们或许会猜想这时要选取三个实自由度的复数域，但在数学上，这样的数域定义似乎不是很良好（具体可以查一下三元数），而四元数在抛弃乘法交换律的前提下，性质非常符合我们的要求，因此我们使用四元数来描述三维转动。（很快你会发现，这个四元数跟我们熟悉的泡利矩阵基本算同一个东西）

四元数的构建需要引入另外两个单位复数满足

$\begin{align} \begin{cases} j^2=k^2=i^2=-1&\\ ijk=1\\ ij=-ji,\ ik=-ki,\ jk=-kj \end{cases} \end{align}$

注意我们新引入的复数是不满足乘法交换律的，第三行可以从第二行推出来。

将四元数记作 q=a1+bi+cj+dk ，与二维的情况相同，我们要求四元数满足

$\begin{align} q^\dagger q=&1\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=&1 \end{align}$

四元数在四元数乘法作为群乘法时构成一个群。我们先证明四元数可以对矢量进行转动操作，为此我们要研究四元数的结构。

四元数中三个复数基底之间是不满足交换律的，但他们分别与单位1的乘积是满足交换律的，因此很自然的，三个复数基底自己可以张成一个与单位1没啥关系的向量空间，而且明显是三维的。将这个矢量空间记作W，W空间中的矢量乘积已经被基矢之间的乘积定义了，因此我们可以得到矢量中任意两个矢量 u,v 之间的乘积为(我们把矢量乘积的符号用 $\cdot$ 来表示，但注意这并不是内积)

“内积”是一种映射: $V\times V\to \mathbb{R}$ 的映射，属于张量，我们在这个矢量空间中还没下这个定义

$\begin{align} u\cdot v=&(ai+bj+ck)\cdot (xi+yj+zk)\\ =&-ax-by-cz\\ &+ayij+azik+bxji+bzjk+cxki+cykj\\ =&-ax-by-cz+(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)k\\ \end{align}$

现在在这个矢量空间W中定义一个内积括号，其运算规则与高中普通矢量的内积规则相同；同时观察上式的乘积结果，其结果并不能被矢量空间W中的基底线性表示，也就是说这个乘法运算并不是封闭的，根据内积括号与我们曾经学过的叉乘，我们可以将上面的结果写为

$\begin{align} u\cdot v=&-<u,v>+u\times v \end{align}$

好吧，现在矢量空间W中的矢量乘法是不封闭的，听起来不太妙，但是没关系，我们用于转动的是四元数q，而不是这三个虚数，把实维度补充到上面的矢量空间后 $\mathbb{R}\times W$ 的空间是四元数的空间，它的乘法是封闭的，设四元数 q=m+u,p=n+v ，把每个四元数都写成实数与三维矢量的叠加（聪明的你肯定知道我哪个字母指代的是实数，哪个是虚数矢量），我们再来看看四元数的乘法:

$\begin{align} q\cdot p=&(m+u)(n+v)\\ =&mn+mv+un+uv\\ =&mn-<u,v>+mv+nu+u\times v\\ \Rightarrow q^\dagger\cdot q=&m^2+<u,u>+u\times u\\ =&<q,q> \end{align}$

原谅我在这之前还没有在四元数的空间中定义内积括号^[2]，现在我们发现四元数的厄米乘上自身得到的便是该四元数的内积，这与 $\mathbb{C}$ 是一样的，因此我们可以很安心地取一个模长为1的四元数q，然后我们声称他可以转动一个三维矢量，你兴冲冲地取来一个矢量 xe_x+ye_y+ze_z ，然后把归一化的四元数丢上去 (xe_x+ye_y+ze_z)(m+u) ，嗯，左边是一个矢量，右边的实数部分可以直接乘上去，但是u也是一个三维矢量，它的基底是 ijk ，它和 e_x,e_y,e_z 乘积得到....？等下，这个式子怎么会有六个矢量基底，你发现这不妥，所以这是三维矢量当然不能拿 $\mathbb{R}^3$ 来表示，四元数自己的运算封闭，你得拿四元数来表示，好在四元数中自带一个三维的矢量空间W，最基本的数乘和矢量加法规则还是满足的，所以我们要用W中的矢量来表示三维空间中的矢量。好了，这下我们的四元数乘矢量 $q\cdot v$ 的表达式中起码不会出现一堆不知道怎么运算的矢量乘积，但是有一个严重的问题，你可能还看不出来，没关系，你按照我们之前的四元数乘法算一下:

$\begin{align} qv=&(m+u)v\\ =&-<u,v>+mv+u\times v \end{align}$

你说："我们已经用四元数把矢量转动啦！"但是仔细一瞧，转动后的矢量是哪个矢量呢？ -<u,v> 甚至不在矢量空间W里，这是一个严重的问题。所以这意味着四元数的转动表示肯定不是，我们也不卖关子了，四元数中的转动应当是 $qvq^\dagger$

当然，如果你喜欢，也可以定义 $q^\dagger vq$ ，只不过你定义的转动方向可能和我的不太一样

太好了，我们终于得到了四元数表示的转动，很容易验证 $qvq^\dagger$ 的内积与的内积是相同的。

真是辛苦自己了（阿妮亚如是说）

证明了四元数本身可以表示转动后，紧接着便要研究四元数的转动群与 SO(3) 群之间的联系

双覆盖(Double cover)

仿照二维的思路，先为四元数的基矢找到合适的矩阵表示，合适的矩阵表示有很多种，但这里选择2x2矩阵来表示(为了和泡利矩阵对应，这里的矩阵和书上的不太一样)

$\begin{align} 1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ,&\quad i=\begin{pmatrix}0&i\\ i&0\end{pmatrix}\\ j=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},&\quad k=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix} \end{align}$

我们现在得到了四元数的矩阵表示，而且行列式为+1，上面的四元数构成特殊酉群$SU(2)$。

任意转动 q=a+bi+cj+dk ，以绕z轴为例

$\begin{align} R_z(\theta)=&\cos\theta+\sin\theta k\\ =&\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\end{pmatrix} \end{align}$

取矢量 v=(1,0,0)^T :

$\begin{align} R_z(\theta)vR^\dagger(\theta)=&\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&i\\ i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-i\theta}&0\\ 0&e^{i\theta}\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}0&ie^{2i\theta}\\ie^{-2i\theta}&0\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}0&i\cos2\theta-\sin2\theta\\i\cos2\theta+\sin2\theta&0\end{pmatrix}\\ =&(\cos2\theta,-\sin2\theta,0)^T \end{align}$

太讨厌知乎敲矩阵了，为什么没有physics宏包的命令

其转动的角度为 $2\theta$ ，因此 SU(2) 群中的参数为 $[0,\pi]$ 或 $[\pi,2\pi]$ 对应的群元便可以与 SO(3) 中的群元同构，换句话说两个群之间的映射不是单射，因此不满足双射， SO(3) 群与 SU(2) 群不是同构关系，而是 SU(2) 群双覆盖 SO(3) 群。书中喜欢用半球与完整求的关系来比喻两个群，但我觉得抛物线 y=x^2 与 x=0(y>0) 的关系更适合比喻两个群（或者单层吉士堡也很贴合）。

下集请戳：

白某爱看讲义：群论学习笔记(part2)

(责任编辑：admin)

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